Zadanie nr 3934122

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok trójkąta w punkcie . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

ZINFO-FIGURE

Sposób I

Trójkąty BDA i ADC mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka , więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem

BD PBDA 1ax sin α a ----= ------= 21-------2α = --. DC PADC 2bx sin 2 b

Sposób II

Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

BD-- = PBDA-. DC PADC

Teraz zauważmy jeszcze, że punkty dwusiecznej są jednakowo odległe od obu ramion kąta, więc odległości punktu od boków i trójkąta są równe – oznaczmy tę odległość przez . Mamy zatem

1 BD-- = PBDA-- = -2AB--⋅h = AB-. DC PADC 12AC ⋅h AC

Sposób III

Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkątach ABD i ACD .

β- -AB-- = -BD-- ⇒ BD = AB--sin-2 sinφ sin β- sin φ 2 AC DC AC sin β2 sin(180∘-−-φ-) = ----β- ⇒ DC = sin-(1-80∘ −-φ). sin 2

Ponieważ sin(1 80∘ − φ) = sin φ mamy stąd

β AB-sin-2 BD--= --sinφ---= AB--. DC AC-sin-β2 AC sinφ

Sposób IV

Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Niech B ′ będzie takim punktem prostej , że AB ′ = AC , a punktem wspólnym CB ′ i dwusiecznej .

Trójkąt ′ AB C jest równoramienny, więc jego dwusieczna jest jednocześnie jego wysokością oraz symetralną boku B′C . W takim razie proste B′C i są prostopadłe oraz B′S = SC . Jeżeli teraz wybierzemy na dwusiecznej taki punkt D ′ , że BD ∥ B′D , to trójkąty CDS i B′D ′S mają równe kąty oraz równe odpowiadające sobie przyprostokątne ′ SC = SB . Są więc przystające i B ′D ′ = DC . Pozostało teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów ABD i AB ′D ′ .