/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 4043117

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy, że

1 ∡ESD = ∡ASB = 180 ∘ − ∡BAS − ∡ABS = 180 ∘ − -(α + β) = ∘ ∘ 2 = 180 − γ = 180 − ∡ACB .

To oznacza, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta DCES jest równa ∘ 18 0 , więc rzeczywiście na czworokącie tym można opisać okrąg.

Wersja PDF