Zadanie nr 4868105
Punkty 
i 
oraz 
i 
dzielą odpowiednio boki 
i 
trójkąta 
w stosunku 
(zobacz rysunek). Odcinki 
i 
przecinają się w punkcie 
.
Uzasadnij, że pola trójkątów 
i 
są równe.
Rozwiązanie
Dorysujmy odcinki 
i 
.
Trójkąty 
, 
i 
mają wspólny kąt przy wierzchołku 
oraz proporcjonalne boki wychodzące z tego wierzchołka. Zatem każde dwa z nich są do siebie podobne. W szczególności 
, czyli czworokąt 
jest trapezem (mogliśmy też to uzasadnić korzystając z twierdzenia Talesa). To z kolei oznacza, że trójkąty 
i 
mają wspólną podstawę 
oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę. Zatem
