Zadanie nr 4945084

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i 2 2 2 sin α+ sin β = 5sin γ , to sin γ ≤ 35 .

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

Korzystając z twierdzenia sinusów

--a-- = -b---= --c-- = 2R sin α sin β sinγ

możemy zamienić sinusy w danej równości na długości boków trójkąta.

2 2 2 sin α + sin β = 5 sin γ a2 b2 c2 ----+ ---- = 5 ⋅---- / ⋅4R 2 4R 2 4R 2 4R 2 a2 + b2 = 5c2.

Teraz korzystając z twierdzenia cosinusów

c2 = a2 + b2 − 2ab cosγ

rozpisujemy

a2 + b2 = 5c2 = 5(a 2 + b2 − 2ab cos γ) 2 2 2 2 co sγ = 4a-+--4b--= 2a-+--2b-. 10ab 5ab

Stąd

( ) 2 2 2a 2 + 2b 2 2 sin γ = 1 − co s γ = 1− ---5ab---- .

Wystarczy teraz udowodnić, że 2 9- sin γ ≤ 25 . Przekształcamy tę nierówność w sposób równoważny.

9 sin2 γ ≤ --- ( 2 5 ) 2a2 + 2b2 2 9 1 − ---------- ≤ --- 5ab 2 5 16 ( 2a2 + 2b2) 2 ---≤ ---------- . 25 5ab

Po obu stronach mamy kwadraty liczb dodatnich, więc wystarczy udowodnić, że

2 2 4-≤ 2a--+-2b-- / ⋅ 5ab 5 5ab 2 2ab ≤ a2 + b2 0 ≤ (a − b)2.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.