Zadanie nr 5311920

Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach P 1,P 2 i (zobacz rysunek)

Wykaż, że P 1 + P 2 > 12P3 .

Rozwiązanie

Zadanie sprawdza się do udowodnienia, że między długościami boków a,b,c dowolnego trójkąta zachodzi nierówność:

a2 + b2 > 1-c2 2

Sposób I

Zauważmy, że używając twierdzenia cosinusów możemy obliczyć w zależności od i .

Dokładniej

2 2 2 c = a + b − 2abco sγ .

Nierówność, którą mamy udowodnić przybiera więc postać

2 2 1 2 1 2 2 a + b > -c = --(a + b − 2ab cos γ) / ⋅ 2 2 2 2 2 a + b + 2ab cosγ > 0.

Aby udowodnić tę nierówność korzystamy z tego, że cos γ > − 1 (bo γ < 180∘ ). Mamy zatem

a2 + b 2 + 2ab cos γ > a2 + b2 − 2ab = (a− b )2 ≥ 0.

Sposób II

Tym razem za punkt wyjścia przyjmijmy nierówność trójkąta.

2 a+ b > c /() a2 + b 2 + 2ab > c2.

Aby przekształcić tę nierówność dalej zauważmy, że zawsze

a2 + b2 ≥ 2ab

(nierówność ta jest równoważna nierówności (a− b)2 ≥ 0 ). W takim razie

2 2 2 2 2 2 2 2 2 c < a + b + 2ab ≤ a + b + a + b = 2(a + b ),

a to jest dokładnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.