Zadanie nr 6764676

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku . Kąt BAC ma miarę 120∘ . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Oznaczmy ∡ADC = α . Wtedy ∡ADB = 180∘ − α . Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach ADC i ADB .

AC---= --DC--- ⇒ AC = DC sin α sinα sin9 0∘ AB BD sin(180∘-−-α)-= sin30-∘.

Ponieważ ∘ sin (180 − α) = sin α , drugą równość możemy zapisać w postaci

AB = 2BD sinα .

Mamy zatem

AB = 2BD sinα = 2DC sinα = 2AC

Sposób II

Tak jak poprzednio oznaczmy ∡ADC = α i niech R 1 i będą promieniami okręgów opisanych na trójkątach ADC i ABD . Na mocy twierdzenia sinusów w tych trójkątach.

2R 1 = -DC----= DC sin 90∘ -BD---- 2R 2 = sin 30∘ = 2BD = 2DC = 4R 1.

Zatem R 2 = 2R1 . Jeszcze raz zapisujemy twierdzenie sinusów w tych trójkątach, ale używamy teraz boków i .

-AC-- 1- -----AB------- 1- AB--- sin α = 2R 1 = R 2 = 2 ⋅sin(18 0∘ − α) = 2 ⋅ sin α.

Zatem rzeczywiście AB = 2AC .

Sposób III

Niech A ′ będzie odbiciem punktu względem punktu . Otrzymujemy w ten sposób równoległobok ABA ′C , w którym jest punktem przecięcia się przekątnych. Zauważmy, że ′ ′ ∘ ∡AA C = ∡A AB = 30 , więc w trójkącie prostokątnym ′ AA C mamy