/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 6842464

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CE | = |DE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BCA | = |∡BAC |+ |∡AF D | .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy ∡BCA = α i ∡AF D = β .

PIC

Wiemy, że trójkąt CDE jest równoramienny, więc

∡EDC = ∡ECD = ∡BCA = α ∡ADF = 180∘ − α.

Patrzymy teraz na trójkąt AF D .

∡BAC = 180∘ − ∡ADF − ∡AF D = 180∘ − (180∘ − α )− β = α − β.

W takim razie rzeczywiście

∡BCA = α = ∡BAC + β = ∡BAC + ∡AF D .
Wersja PDF