Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7519997

Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe  2 P = 2R ⋅sin α ⋅sinβ ⋅sin γ , gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a α,β i γ są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.


PIC


Wyprowadźmy najpierw znany wzór

P = 1bc sin α. 2

W tym celu zauważmy, że

h --= sin α ⇒ h = bsinα . b

Mamy stąd

 1 1 P = --ch = --cbsin α. 2 2

Jeżeli teraz skorzystamy z twierdzenia sinusów

--b-- sin β = 2R ⇒ b = 2R sin β --c-- = 2R ⇒ c = 2R sin γ. sin γ

to mamy

 1 1 P = -cb sin α = --⋅2R sin γ ⋅2R sin β ⋅sin α = 2R 2 sin α sin β sin γ. 2 2
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!