/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 9385995

W trójkącie ostrokątnym ABC proste AH i BH zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków A i B . Uzasadnij, że kąt AHB jest rozwarty.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Suma kątów czworokąta CEHD jest równa 360∘ , więc

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡AHB = ∡EHD = 3 60 − 90 − 90 − γ = 1 80 − γ > 1 80 − 90 = 90 .

Ostatnia nierówność wynika z podanego założenia, że trójkąt ABC jest ostrokątny.

Sposób II

Z trójkątów prostokątnych ABE i ABD mamy

∡ABH = 90∘ − α ∡BAH = 90∘ − β .

Obliczamy miarę kąta AHB .

∡AHB = 180∘ − ∡ABH − ∡BAH = 180∘ − (90 ∘ − α )− (9 0∘ − β) = ∘ ∘ ∘ ∘ = α+ β = 18 0 − γ > 18 0 − 9 0 = 90 .
Wersja PDF