Zadanie nr 7305448

Dany jest prostokąt ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej w punkcie . Okrąg wpisany w trójkąt ABD jest styczny do boku w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku , jak na rysunku.

Wykaż, że |MN | = |AD | .

Rozwiązanie

Sposób I

Niech będzie rzutem punktu na bok , a niech będzie rzutem na przekątną .

Trójkąty P SN i RNB są prostokątne oraz mają wspólny kąt

∡RBN = 90∘ − ∡RNB = 90∘ − (180∘ − 90 ∘ − ∡SNP ) = ∡SNP .

Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość . To oznacza, że trójkąty P SN i RNB są przystające. W szczególności

NS = BN = BK = DM

(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu maję tę samą długość). Mamy zatem

MN = MS + SN = MA + DM = AD .

Sposób II

Tak samo jak poprzednio niech będzie rzutem punktu na przekątną . Zauważmy, że środek prostokąta jest środkiem symetrii danego rysunku, więc punkt leży na prostej równoległej do i przechodzącej przez środek okręgu wpisanego w trójkąt BCD . Niech będzie rzutem punktu na bok . Zauważmy, że trójkąty SNP i P DQ są prostokątne oraz mają wspólny kąt ostry

∡SNP = ∡P DQ .

Ponadto w obu trójkątach przyprostokątne leżące naprzeciw tych kątów mają tę samą długość . To oznacza, że trójkąty SNP i PDQ są przystające. W szczególności