Zadanie nr 2302763
W czworokącie 
spełniony jest warunek 
. Wykaż, że na czworokącie 
można opisać okrąg.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Czworokąt jest wpisany w okrąg, jeżeli sumy miar jego przeciwległych kątów są równe. Spróbujemy pokazać, że tak jest w naszej sytuacji.
Zauważmy, że podana równość kątów oznacza, że trójkąty 
i 
są podobne (bo trójkąty te mają dwa takie same kąty: 
, oraz kąt przy wierzchołku 
). W szczególności 
oraz
Jeżeli zapiszemy powyższą równość w postaci
i popatrzymy na trójkąty 
i 
to widać, że są one podobne (mają wspólny kąt przy wierzchołku 
i proporcjonalne boki wychodzące z tego wierzchołka). Zatem 
oraz 
. Wykazaliśmy zatem, że rzeczywiście
