/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Zadanie nr 7972113

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Informację o równych promieniach okręgów opisanych na trójkątach ASB , BSC , CSD i DSA najłatwiej zapisać przy użyciu twierdzenia sinusów.

--a-- ------b------- --c-- ------d------- 2R = sin α = sin (180∘ − α) = sin α = sin(180∘ − α)

Ponieważ

sin(180∘ − α ) = sin α,

mamy stąd

a = b = c = d ,

czyli czworokąt ABCD jest rombem. W szczególności można w ten czworokąt wpisać okrąg – jego środkiem jest punkt przecięcia się przekątnych.

PIC

Wersja PDF