Zadanie nr 1069921
Okrąg przecina boki czworokąta kolejno w punktach
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , to w czworokąt
można wpisać okrąg.
Rozwiązanie
Sposób I
Niech będzie promieniem danego okręgu i

Oznaczmy ponadto przez rzuty środka okręgu na kolejne boki czworokąta.

Zauważmy, że cztery trójkąty równoramienne

są przystające (bo mają boki równej długości), więc

To z kolei oznacza, że okrąg o środku i promieniu
jest styczny do wszystkich boków czworokąta.
Sposób II
Popatrzmy na proste i
. Odcinają one od danego okręgu łuki
i
, które są tej samej długości. Proste te są więc równoległe i czworokąt
jest trapezem równoramiennym. W szczególności

czyli trójkąt jest równoramienny. Zatem
.
Analogicznie uzasadniamy, że każdy z czworokątów ,
i
jest trapezem równoramiennym i
,
,
. Stąd

To oczywiście oznacza, że w czworokąt można wpisać okrąg.