Zadanie nr 1069921

Niech będzie promieniem danego okręgu i

Oznaczmy ponadto przez rzuty środka okręgu na kolejne boki czworokąta.

Zauważmy, że cztery trójkąty równoramienne

są przystające (bo mają boki równej długości), więc

To z kolei oznacza, że okrąg o środku i promieniu jest styczny do wszystkich boków czworokąta.

Popatrzmy na proste i . Odcinają one od danego okręgu łuki i , które są tej samej długości. Proste te są więc równoległe i czworokąt jest trapezem równoramiennym. W szczególności

czyli trójkąt jest równoramienny. Zatem .

Analogicznie uzasadniamy, że każdy z czworokątów , i jest trapezem równoramiennym i , , . Stąd

To oczywiście oznacza, że w czworokąt można wpisać okrąg.