Zadanie nr 1128583
W czworokącie wypukłym (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: oraz . Wykaż, że .
Rozwiązanie
Zauważmy, że na czworokącie można opisać okrąg.
Dokładniej mówiąc, okrąg o średnicy przechodzi przez punkty i .
Sposób I
Jeżeli więc oznaczymy to na mocy twierdzenia sinusów w trójkącie mamy
Sposób II
Dorysujmy promienie i . Otrzymany trójkąt jest równoramienny oraz
(skorzystaliśmy z faktu, że suma miar przeciwległych kątów w czworokącie wpisanym w okrąg jest równa ). W takim razie trójkąt to równoramienny trójkąt prostokątny, czyli