/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 1703520

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P,Q ,R ,S (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Rozwiązanie

Oznaczymy kąty czworokąta przez 2 α,2β,2γ ,2δ .

PIC

Patrząc na trójkąty AP B ,AQD ,CRD i BSC łatwo wyliczamy kąty czworokąta PQRS

∘ ∡P = 180 − (α+ β) ∡Q = 180∘ − (α + δ) ∘ ∡R = 180 − (γ + δ) ∡S = 1 80∘ − (β+ γ).

Z równości tych łatwo zobaczyć, że

∡P + ∡R = ∡Q + ∡S .

I to koniec, bo równość sum miar przeciwległych kątów to warunek wystarczający na to, aby na czworokącie dało się opisać okrąg.

Zauważmy, że w powyższym rozwiązaniu nie korzystaliśmy z tego, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Wersja PDF