/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 2132558

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Udowodnimy, że pole czworokąta powstałego przez połączenie środków jego boków jest równe połowie pola wyjściowego czworokąta. Fakt ten w szczególności oznacza, że środki boków jednoznacznie wyznaczają pole czworokąta, czyli to, co jest treścią naszego zadania.


PIC


Niech E ,F,G ,H będą środkami boków czworokąta ABCD i poprowadźmy przekątną BD . Odcinki GF i HE łączą środki boków w trójkątach DBC i DBA , zatem

 1- PGFC = 4 PDBC 1 PHEA = -PDBA . 4

Dodając te równości stronami mamy

 1 1 1 PGFC + PHEA = --PDBC + -PDBA = -PABCD . 4 4 4

Podobnie pokazujemy, że

 1- PHGD + PFEB = 4PABCD .

Mamy zatem

P = P − P − P − P − P = 1-P . EFGH ABCD GFC HEA HGD FEB 2 ABCD
Wersja PDF
spinner