Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2302763

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Czworokąt jest wpisany w okrąg, jeżeli sumy miar jego przeciwległych kątów są równe. Spróbujemy pokazać, że tak jest w naszej sytuacji.

Zauważmy, że podana równość kątów oznacza, że trójkąty ASD i BSC są podobne (bo trójkąty te mają dwa takie same kąty: ∡ADS = ∡BCS , oraz kąt przy wierzchołku S ). W szczególności ∡DAS = ∡CBS oraz

SD SC ----= ---. SA SB

Jeżeli zapiszemy powyższą równość w postaci

SD SA ----= ---- SC SB

i popatrzymy na trójkąty ABS i DCS to widać, że są one podobne (mają wspólny kąt przy wierzchołku S i proporcjonalne boki wychodzące z tego wierzchołka). Zatem ∡SDC = ∡SAB oraz ∡SCD = ∡SBA . Wykazaliśmy zatem, że rzeczywiście

∡A + ∡C = ∡B + ∡D .
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!