Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2926623

Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy czworokąt.


PIC


Zauważmy, że jeżeli trójkąty ABC i ACD mają równe pola, to pole każdego z nich jest równe połowie pola czworokąta. Tak samo uzasadniamy, że pola trójkątów ABD i DBC są równe połowie pola czworokąta. W szczególności

PABC = PABD .

Trójkąty te mają wspólną podstawę AB , więc muszą mieć wysokości tej samej długości, czyli punkty C i D leżą w tej samej odległości od prostej AB , czyli proste AB i CD są równoległe.

Analogicznie z, z równości pól ABD i ACD uzasadniamy, że równoległe są proste AD i BC . To oznacza, że czworokąt ABCD jest równoległobokiem.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!