/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 2991192

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę ∘ 50 , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60 ∘ . Okrąg o1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E . Okrąg o 2 przechodzi przez punkt B , przecina okrąg o 1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G .

PIC

Udowodnij, że na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Połączmy punkt F z punktami E,D ,G .

PIC

Z trójkąta ABC mamy

∡ABC = 180∘ − 50 ∘ − 6 0∘ = 70∘.

Wiemy ponadto, że na czworokątach ADF E i BDF G można opisać okręgi, więc

∘ ∘ ∘ ∘ ∡DF E = 180 − ∡A = 180 − 50 = 1 30 ∡DF G = 180∘ − ∡B = 1 80∘ − 70∘ = 110 ∘.

Stąd

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡GF E = 360 − ∡DF E − ∡DF G = 3 60 − 130 − 110 = 120 .

To oznacza, że

∡C + ∡GF E = 18 0∘,

czyli na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Wersja PDF