Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Wykaż, że sumy kwadratów... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Udowodnij..., 4805390

Forum

Dowolny

Zadanie nr 4805390

Przekątne czworokąta $ABCD$ są prostopadłe.

Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
Wykaż, że jeżeli długości jego boków $AB ,BC ,CD ,DA$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od szkicowego rysunku.

Jeżeli przez $p,r,s,t$ oznaczymy długości odcinków łączących wierzchołki czworokąta z punktem przecięcia się przekątnych to na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy $( | AB 2 = p2 + r2 ||{ 2 2 2 BC = r + s || CD 2 = s2 + t2 |( DA 2 = t2 + p2$
W takim razie
$AB 2 + CD 2 = (p2 + r2) + (s2 + t2) = (r2 + s2) + (t2 + p2) = BC 2 + DA 2.$
Skoro długości boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy je oznaczyć przez $2 3 a,aq ,aq ,aq$ . Na mocy poprzedniego podpunktu mamy $a2 + (aq2)2 = (aq)2 + (aq3)2 2 2 4 2 2 2 6 2 a + a q = a q + a q / : a 1 + q4 = q2 + q6 = q 2(1 + q4) / : (1 + q4) 2 1 = q .$
Oczywiście $q$ nie może być ujemne, czyli $q = 1$ i wszystkie boki czworokąta mają równe długości.

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!