Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5128574

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

  • Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają prostokąt, czy można stwierdzić, że czworokąt jest rombem?
  • Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają romb, czy można stwierdzić, że czworokąt jest prostokątem?
  • Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają kwadrat, czy można stwierdzić, że czworokąt jest kwadratem?
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Jeżeli dorysujemy przekątną DB , to na mocy wierdzenia Talesa jest ona równoległa do odcinków GF i HE . Podobnie, odcinki EF i HG są równoległe do przekątnej AC . Czworokąt EFGH jest więc równoległobokiem. Zauważmy ponadto, że boki tego równoległoboku mają długości równe połowom długuści przekątnych wyjściowego czworokąta.

  • Czworokąt EF GH jest prostokątem, wtedy i tylko wtedy gdy przekątne AC i BD są prostopadłe. Jest wiele czworokątów o tej własności, które nie są rombami, np. deltoid (rysunek).
    PIC

     
    Odpowiedź: Nie

  • Czworokąt EFGH jest rombem, wtedy i tylko wtedy gdy przekątne AC i BD mają równe długości. Jest wiele czworokątów o tej własności, które nie są prostokątami, np. trapez równoramienny (rysunek).  
    Odpowiedź: Nie
  • Czworokąt EFGH jest kwadratem, wtedy i tylko wtedy gdy przekątne AC i BD są prostopadłe i mają równe długości. Jest wiele czworokątów o tej własności, które nie są prostokątami, np. deltoid z równymi przekątnymi (rysunek).  
    Odpowiedź: Nie
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!