Zadanie nr 7972113
Przekątne czworokąta wypukłego dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt
można wpisać okrąg.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Informację o równych promieniach okręgów opisanych na trójkątach ,
,
i
najłatwiej zapisać przy użyciu twierdzenia sinusów.

Ponieważ

mamy stąd

czyli czworokąt jest rombem. W szczególności można w ten czworokąt wpisać okrąg – jego środkiem jest punkt przecięcia się przekątnych.