Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7972113

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Informację o równych promieniach okręgów opisanych na trójkątach ASB , BSC , CSD i DSA najłatwiej zapisać przy użyciu twierdzenia sinusów.

 --a-- ------b------- --c-- ------d------- 2R = sin α = sin (180∘ − α) = sin α = sin(180∘ − α)

Ponieważ

sin(180∘ − α ) = sin α,

mamy stąd

a = b = c = d ,

czyli czworokąt ABCD jest rombem. W szczególności można w ten czworokąt wpisać okrąg – jego środkiem jest punkt przecięcia się przekątnych.


PIC


Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!