Zadanie nr 8248810
Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).
Wykaż, że punkty , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.
Rozwiązanie
Dorysujmy odcinki oraz boki czworokąta .
Oznaczmy ponadto , , i .
Czworokąt jest wpisany w okrąg, więc
Patrzymy teraz na czworokąty i . Każdy z nich jest wpisany w okrąg, więc
Teraz łatwo już obliczyć miary dwóch przeciwległych kątów w czworokącie .
Jak zauważyliśmy wcześniej
To oznacza, że na czworokącie można opisać okrąg.