Zadanie nr 8697280
Dany jest czworokąt . Niech
będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt
można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Rozwiązanie
Szkicujemy czworokąt wpisany w okrąg.
Twierdzenie, które mamy udowodnić ma formę równoważności, więc musimy wykazać dwie implikacje.
„”
Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to na mocy twierdzenia o równości kątów wpisanych mamy

To oznacza, że trójkąty i
mają dwa równe kąty (drugi równy kąt to ten przy wierzchołku
). To oznacza, że trójkąty te są podobne, czyli

„”
Odwrotnie, z równości

wynika, że trójkąty i
są podobne (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku
). Analogicznie, jeżeli zapiszemy powyższy warunek w postaci

to widać, że podobne też są trójkąty i
. Z powyższych podobieństw mamy

To oznacza, że w czworokącie sumy przeciwległych kątów są równe, więc na czworokącie tym można opisać okrąg.