/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny/Udowodnij...

Zadanie nr 8697280

Dany jest czworokąt ABCD . Niech S będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |AS|= |BS| |DS| |CS| .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy czworokąt wpisany w okrąg.


ZINFO-FIGURE


Twierdzenie, które mamy udowodnić ma formę równoważności, więc musimy wykazać dwie implikacje.
⇒
Jeżeli czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, to na mocy twierdzenia o równości kątów wpisanych mamy

∡ADB = ∡ACB

To oznacza, że trójkąty ASD i BSC mają dwa równe kąty (drugi równy kąt to ten przy wierzchołku S ). To oznacza, że trójkąty te są podobne, czyli

AS BS DS--= CS-.

⇐
Odwrotnie, z równości

AS--= BS- DS CS

wynika, że trójkąty ASD i BSC są podobne (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku S ). Analogicznie, jeżeli zapiszemy powyższy warunek w postaci

AS-- DS-- BS = CS ,

to widać, że podobne też są trójkąty ASB i DSC . Z powyższych podobieństw mamy

∡A + ∡C = ∡DAS + ∡BAS + ∡DCS + ∡BCS = ∡CBS + ∡CDS + ∡ABS + ∡ADS = ∡B + ∡D .

To oznacza, że w czworokącie ABCD sumy przeciwległych kątów są równe, więc na czworokącie tym można opisać okrąg.

Wersja PDF
spinner