Zadanie nr 8697280
Dany jest czworokąt 
. Niech 
będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt 
można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy 
.
Rozwiązanie
Szkicujemy czworokąt wpisany w okrąg.
Twierdzenie, które mamy udowodnić ma formę równoważności, więc musimy wykazać dwie implikacje.
„
”
Jeżeli czworokąt 
jest wpisany w okrąg, to na mocy twierdzenia o równości kątów wpisanych mamy
To oznacza, że trójkąty 
i 
mają dwa równe kąty (drugi równy kąt to ten przy wierzchołku 
). To oznacza, że trójkąty te są podobne, czyli
„
”
Odwrotnie, z równości
wynika, że trójkąty 
i 
są podobne (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku 
). Analogicznie, jeżeli zapiszemy powyższy warunek w postaci
to widać, że podobne też są trójkąty 
i 
. Z powyższych podobieństw mamy
To oznacza, że w czworokącie 
sumy przeciwległych kątów są równe, więc na czworokącie tym można opisać okrąg.
