Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8711676

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Sposób I

Zauważmy, że odcinek KL łączy środki boków w trójkącie ABC . Jest on więc równoległy do odcinka AC . Podobnie, odcinek NM łączy środki boków trójkąta ACD , więc też jest równoległy do AC . Zatem

KL ∥ AC ∥ NM ⇒ KL ∥ NM .

Analogicznie, jeżeli popatrzymy na trójkąty ABD i BCD to

KN ∥ BD ∥ LM ⇒ KN ∥ LM .

Ponadto

 1 1 KL = NM = --AC ∧ KN = LM = --BD . 2 2

To oznacza, że czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Z założenia wiemy ponadto, że jego przekątne są prostopadłe, więc jest to romb. W takim razie

AC = 2KL = 2KN = BD .

Sposób II

Umieśćmy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (2b,0) , C = (2c1,2c2) i D = (2d 1,2d2) . Wtedy

 A + B K = -------= (b ,0 ) 2 L = B-+-C-= (b + c ,c2) 2 1 C-+-D-- M = 2 = (c1 + d1,c2 + d2) D + A N = ------- = (d1,d 2). 2

Obliczmy współrzędne wektorów −→ KM i −→ LN .

 −→ KM = [c + d − b,c + d ] 1 1 2 2 −L→N = [d − b− c ,d − c ]. 1 1 2 2

Z założenia  −→ −→ KM ⊥ LM . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem

 −→ −→ 0 = KM ∘ LN = [c1 + d1 − b,c2 + d2]∘ [d1 − b − c1,d2 − c2] 0 = ((d − b)+ c )((d − b) − c ) + (d + c )(d − c ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 = (d1 − b)2 − c21 + d22 − c22 2 2 2 2 c1 + c2 = (d1 − b) + d2 / ⋅4 (2c )2 + (2c )2 = (2d − 2b )2 + (2d )2 1 2 1 2 AC 2 = BD 2.

Sposób III

Zauważmy, że

−K→M = −K→L + −L→M = 1−A→C + 1−B→D 2 2

Podobnie,

−→ −→ −→ −→ −→ LN = LM + MN = 1BD − 1AC . 2 2

Z założenia  −→ −→ KM ⊥ LN . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem

 −→ − → ( −→ −→ ) ( −→ −→ ) ( −→ ) 2 ( −→ )2 0 = KM ∘LN = 1BD + 1AC 1-BD − 1-AC = 1- BD − 1- AC . 2 2 2 2 4 4

Ponieważ (→ )2 → → → 2 a = a ∘ a = | a| , mamy stąd

 −→ −→ |BD | = |AC |,

czyli w szczególności |BD | = |AC | .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!