Zadanie nr 8711676

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Sposób I

Zauważmy, że odcinek łączy środki boków w trójkącie ABC . Jest on więc równoległy do odcinka . Podobnie, odcinek łączy środki boków trójkąta ACD , więc też jest równoległy do . Zatem

KL ∥ AC ∥ NM ⇒ KL ∥ NM .

Analogicznie, jeżeli popatrzymy na trójkąty ABD i BCD to

KN ∥ BD ∥ LM ⇒ KN ∥ LM .

Ponadto

1 1 KL = NM = --AC ∧ KN = LM = --BD . 2 2

To oznacza, że czworokąt KLMN jest równoległobokiem. Z założenia wiemy ponadto, że jego przekątne są prostopadłe, więc jest to romb. W takim razie

AC = 2KL = 2KN = BD .

Sposób II

Umieśćmy czworokąt w układzie współrzędnych tak, aby A = (0,0) , B = (2b,0) , C = (2c1,2c2) i D = (2d 1,2d2) . Wtedy

A + B K = -------= (b ,0 ) 2 L = B-+-C-= (b + c ,c2) 2 1 C-+-D-- M = 2 = (c1 + d1,c2 + d2) D + A N = ------- = (d1,d 2). 2

Obliczmy współrzędne wektorów −→ KM i −→ LN .

−→ KM = [c + d − b,c + d ] 1 1 2 2 −L→N = [d − b− c ,d − c ]. 1 1 2 2

Z założenia −→ −→ KM ⊥ LM . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem

−→ −→ 0 = KM ∘ LN = [c1 + d1 − b,c2 + d2]∘ [d1 − b − c1,d2 − c2] 0 = ((d − b)+ c )((d − b) − c ) + (d + c )(d − c ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 = (d1 − b)2 − c21 + d22 − c22 2 2 2 2 c1 + c2 = (d1 − b) + d2 / ⋅4 (2c )2 + (2c )2 = (2d − 2b )2 + (2d )2 1 2 1 2 AC 2 = BD 2.

Sposób III

Zauważmy, że

−K→M = −K→L + −L→M = 1−A→C + 1−B→D 2 2

Podobnie,

−→ −→ −→ −→ −→ LN = LM + MN = 1BD − 1AC . 2 2

Z założenia −→ −→ KM ⊥ LN . Warunek ten najłatwiej jest zapisać używając iloczynu skalarnego – niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Mamy zatem