Zadanie nr 9127139
Z wierzchołków czworokąta poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta
wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli półproste i
są dwusiecznymi odpowiednio kątów
i
, to półprosta
jest dwusieczną kąta
.
Rozwiązanie
Oznaczymy kąty czworokąta przez i
.
Patrzymy najpierw na trójkąty i
. Mamy w nich

Wiemy ponadto, że punkty leżą na jednym okręgu – to pozwala obliczyć pozostałe kąty czworokąta
.

Teraz z trójkątów i
obliczamy miary kątów, na jakie prosta
dzieli kąt
.

Zatem rzeczywiście prosta jest dwusieczną kąta
.