/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 1593228

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

a(a + b)+ b2 > 3ab.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 a(a + b) + b > 3ab a2 + ab + b2 > 3ab 2 2 a − 2ab + b > 0 (a − b)2 > 0.

Ponieważ z założenia a ⁄= b , więc otrzymana nierówność jest prawdziwa. Ponieważ przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF