/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 1840172

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność 2 4 x-+y- ≥ x+ y2 − 1 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,

2 4 x--+-y--≥ x + y2 − 1 / ⋅2 2 x2 + y4 ≥ 2x + 2y 2 − 2 2 4 2 (x − 2x + 1)+ (y − 2y + 1) ≥ 0 (x− 1)2 + (y2 − 1)2 ≥ 0.

Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić

2 4 2 x − 2x + (y − 2y + 2) ≥ 0

jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y . Liczymy Δ -ę.

Δ = 4− 4(y 4− 2y2 + 2) = 4 − 4y4 + 8y2− 8 = − 4(y4− 2y2+ 1) = − 4(y2− 1)2.

Ponieważ Δ jest niedodatnia, powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony nie schodzi poniżej osi Ox ).

Wersja PDF