Zadanie nr 2020809
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej takiej, że , prawdziwa jest nierówność
Rozwiązanie
Sposób I
Szacujemy lewą stronę – korzystamy przy tym z podanych informacji, że i .
Sposób II
Liczby i są dodatnie oraz
Przekształćmy teraz interesującą nas nierówność tak, aby podstawić .
Wystarczy teraz zauważyć, że jeżeli , to faktycznie
Sposób III
Tak jak poprzednio sprowadzamy sytuację do prawdziwości nierówności
Zauważmy teraz, że pierwsze współrzędna wierzchołka paraboli
jest równa . Ponadto ramiona tej paraboli są skierowane w górę, więc funkcja jest rosnąca na przedziale . W szczególności jeżeli , to