/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 2888824

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c prawdziwa jest nierówność

2 2 2 a-+--b-+-c--≥ a+ b+ c− 3. 2 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny,

2 2 2 a-+--b-+--c-≥ a+ b+ c− 3- / ⋅2 2 2 a2 + b 2 + c2 ≥ 2a + 2b + 2c− 3 2 2 2 (a − 2a + 1)+ (b − 2b + 1) + (c − 2c + 1) ≥ 0 (a− 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ 0.

Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF