/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 2932805

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b ⁄= a , spełniona jest nierówność

2 2 ( ) 2 a--+-b- a+--b- 2 > 2 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 ( ) 2 a-+-b--> a+--b- / ⋅4 2 2 2 2 2 2 2a + 2b > a + 2ab+ b a2 − 2ab + b2 > 0 2 (a − b) > 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo a ⁄= b ), więc wyjściowa nierówność też musi być prawdziwa (bo przekształcaliśmy ją w sposób równoważny).

Wersja PDF