/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 3082366

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność 18x2 − 36mx + 2 2m 2 ≥ 24x − 12m − 17 .

Rozwiązanie

Jeżeli zapiszemy daną nierówność w postaci

2 2 18x − 12(3m + 2)x + (22m + 12m + 17) ≥ 0 ,

to widać, że mamy do czynienia ze zwykłą nierównością kwadratową. Ramiona paraboli będącej wykresem lewej strony są skierowane w górę, więc wystarczy pokazać, że Δ ≤ 0 . Liczymy

Δ = 144(3m + 2)2 − 4⋅18 (22m 2 + 1 2m + 1 7) = 2 2 = 144(9m + 12m + 4)− 72(22m + 12m + 17) = = 72(− 4m 2 + 1 2m − 9 ) = − 72(4m 2 − 12m + 9 ) = = −7 2(2m − 3 )2.

Widać teraz, że rzeczywiście Δ ≤ 0 .

Wersja PDF