Zadanie nr 3195354

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej mniejszej od − 1 i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność 5x2 − 12xy + 18y2 − 6x − 9 > 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że lewą stronę nierówności możemy zapisać w postaci

2 2 2 2 2 5x − 12xy + 18y − 6x − 9 = 2 (x − 6xy + 9y ) + 3x − 6x − 9 = = 2 (x − 3y)2 + 3(x2 − 2x − 3).

Wystarczy teraz uzasadnić, że wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie. Rozkładamy je na czynniki

Δ = 4 + 12 = 1 6 2 − 4 2 + 4 x = ------= − 1 lub x = ------= 3. 2 2

Zatem

2 x − 2x− 3 = (x + 1)(x − 3)

i widać, że wyrażenie to jest dodatnie dla x < − 1 (oba nawiasy są wtedy ujemne).

Sposób II

Tak jak poprzednio przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci

2 2 2 2 5x − 12xy + 18y − 6x− 9 = 2(x − 3y ) + 3(x − 2x − 3).

Dodatniość wyrażenia w drugim nawiasie dowodzimy jednak inaczej – sprowadzając ten trójmian do postaci kanonicznej

x 2 − 2x − 3 = (x − 1)2 − 4.

Jeżeli x < − 1 , to

(x − 1)2 − 4 > (− 1 − 1)2 − 4 = 4 − 4 = 0 .

Sposób III

Zapiszmy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową zmiennej

2 2 f(y ) = 18y − 12xy + (5x − 6x − 9) Δ = 144x 2 − 72 (5x2 − 6x − 9) = 72(2x 2 − 5x2 + 6x + 9) = 2 2 = 72(− 3x + 6x + 9 ) = − 216(x − 2x − 3) = − 2 16(x + 1)(x − 3).

Widać teraz, że Δ < 0 dla x < − 1 , czyli

f(y) > 0

dla każdej wartości .