/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 3201022

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a + b = 4 , to 2 2 a + b ≥ 8 .

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy w nierówności, która mamy wykazać b = 4 − a i przekształcamy ją w sposób równoważny.

2 2 a + (4 − a) ≥ 8 a2 + 16 − 8a + a2 ≥ 8 2a 2 − 8a + 8 ≥ 0 2 2(a − 2) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Korzystamy z nierówności

∘ -2----2- a--+-b- ≥ a+--b- 2 2

pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną. Mamy zatem

2 2 ( ) 2 a-+--b- ≥ a-+-b- = 4 2 2 a2 + b 2 ≥ 8.
Wersja PDF