/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 4160642

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c ∈ R zachodzi nierówność

a2 + 4b2 + 3c2 + 13 ≥ 2a + 12b + 6c.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność tak, aby otrzymać z lewej strony nierówności sumę kwadratów.

2 2 2 a + 4b + 3c + 13 ≥ 2a+ 12b + 6c (a 2 − 2a + 1) − 1 + (4b2 − 12b + 9 )− 9 + (3c2 − 6c + 3) − 3 + 13 ≥ 0 (a − 1)2 + (2b − 3)2 + 3(c − 1)2 ≥ 0.

Teraz jest jasne, że nierówność ta jest zawsze spełniona.

Wersja PDF