/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 4375984

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

4a (a+ b)+ b 2 ≥ 8ab.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 4a(a+ b)+ b ≥ 8ab 4a2 + 4ab+ b2 ≥ 8ab 2 2 4a − 4ab+ b ≥ 0 (2a− b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF