/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 4684173

Wykaż, ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność 2 2 x + y ≤ x-+y-+2- 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Daną nierówność możemy zapisać w postaci

2 2 x+ y ≤ x--+-y--+-2- / ⋅2 2 2x + 2y ≤ x 2 + y 2 + 2 2 2 0 ≤ x + y + 2 − 2x − 2y.

Sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny,

x2 + y2 + 2 x + y ≤ ------------ / ⋅2 2 0 ≤ (x 2 − 2x + 1)+ (y2 − 2y + 1) 2 2 0 ≤ (x − 1 ) + (y − 1) .

Oczywiście nierówność ta jest spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy nierówność, którą mamy udowodnić

0 ≤ x 2 − 2x + (y2 − 2y+ 2)

jak zwykłą nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y . Liczymy Δ -ę.

Δ = 4− 4(y 2− 2y + 2) = 4 − 4y2 + 8y− 8 = − 4(y2 − 2y+ 1) = − 4(y− 1)2.

Ponieważ Δ jest niedodatnia, powyższa nierówność jest zawsze spełniona (bo parabola będąca wykresem lewej strony jest powyżej osi Ox ).

Wersja PDF