Zadanie nr 5838004
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej większej od 2 i dla każdej liczby rzeczywistej
prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że lewą stronę nierówności możemy zapisać w postaci

Wystarczy teraz uzasadnić, że wyrażenie w drugim nawiasie jest dodatnie. Rozkładamy je na czynniki

Zatem

i widać, że wyrażenie to jest dodatnie dla .
Sposób II
Tak jak poprzednio przekształcamy lewą stronę nierówności do postaci

Dodatniość wyrażenia w drugim nawiasie dowodzimy jednak inaczej – sprowadzając ten trójmian do postaci kanonicznej

Jeżeli , to

Sposób III
Zapiszmy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową zmiennej

Widać teraz, że dla
, czyli

dla każdej wartości .