/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 6780762

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli a + b = 6 , to 2 2 a + b ≥ 18 .

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy w nierówności, która mamy wykazać b = 6 − a i przekształcamy ją w sposób równoważny.

2 2 a + (6 − a) ≥ 18 a2 + 36 − 12a + a2 ≥ 1 8 2a2 − 12a + 18 ≥ 0 2 2(a − 3) ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Korzystamy z nierówności

∘ -2----2- a--+-b- ≥ a+--b- 2 2

pomiędzy średnią kwadratową i arytmetyczną. Mamy zatem

2 2 ( ) 2 a-+--b- ≥ a-+-b- = 9 2 2 a2 + b 2 ≥ 18.
Wersja PDF