/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 7055040

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność

b(3b − 4a)+ 4a2 ≥ 0.

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 b(3b − 4a) + 4a ≥ 0 3b2 − 4ab + 4a2 ≥ 0 2 2 2 2b + b − 4ab+ 4a ≥ 0 2b2 + (b− 2a)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF