/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 7072476

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x ⁄= 2y , prawdziwa jest nierówność

x2 + 4y 2 − 4 > 4(xy − 1).

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 2 x + 4y − 4 > 4(xy − 1) x 2 + 4y2 − 4 > 4xy − 4 x 2 − 4xy + 4y2 > 0 2 (x − 2y) > 0.

Otrzymana nierówność jest prawdziwa (bo z założenia x − 2y ⁄= 0 ), więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF