/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 7204987

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2 − 8xy + 5y 2 ≥ 0 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 4x − 8xy + 5y ≥ 0 4x2 − 8xy + 4y2 + y2 ≥ 0 2 2 2 4(x − 2xy + y )+ y ≥ 0 4(x − y)2 + y2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

2 2 4x − 8y ⋅x + 5y ≥ 0

jak nierówność kwadratową zmiennej x z parametrem y . Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego y –ka) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

Δ = (8y)2 − 80y2 = − 16y2 ≤ 0,

więc parabola ta znajduje się w całości powyżej osi Ox . To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich możliwych wartości x i y .

Sposób III

Jeżeli y = 0 to mam nierówność

2 4x ≥ 0,

która jest oczywiście spełniona. Załóżmy zatem, że y ⁄= 0 . Możemy wtedy daną nierówność podzielić przez y2 .

2 2 2 4x − 8xy + 5y ≥ 0 / : y ( ) 2 4 x- − 8 ⋅ x-+ 5 ≥ 0. y y

Jeżeli podstawimy teraz t = xy , to musimy udowodnić, że

4t2 − 8t + 5 ≥ 0 .

Ponieważ Δ = 64 − 80 = − 16 < 0 nierówność ta jest rzeczywiście zawsze prawdziwa.

Wersja PDF