/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 7817059

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność

2a(a − b) + b2 > 2(a − 1).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

2 2a (a− b )+ b > 2(a− 1) 2a 2 − 2ab + b2 > 2a− 2 2 2 2 (a − 2ab + b ) + a − 2a + 2 > 0 (a − b)2 + (a2 − 2a + 1) + 1 > 0 (a − b)2 + (a − 1)2 + 1 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF