/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 9108281

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 5a2 + b2 ≥ 4ab .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

5a 2 + b2 ≥ 4ab 2 2 2 a + 4a − 4ab + b ≥ 0 a2 + (2a − b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

2 2 5a − 4b ⋅a+ b ≥ 0

jak nierówność kwadratową zmiennej a z parametrem b . Współczynnik przy a2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego b ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

Δ = (4b)2 − 20b2 = − 4b2 < 0 ,

więc parabola ta znajduje się w całości powyżej osi Oa . To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich możliwych wartości a i b .

Sposób III

Jeżeli b = 0 to mam nierówność

2 5a ≥ 0,

która jest oczywiście spełniona. Załóżmy zatem, że b ⁄= 0 . Możemy wtedy daną nierówność podzielić przez 2 b .

2 2 2 5a − 4ab + b ≥ 0 / : b ( a) 2 a 5 b- − 4⋅ b + 1 ≥ 0.

Jeżeli podstawimy teraz t = a b , to musimy udowodnić, że

5t2 − 4t + 1 ≥ 0 .

Ponieważ Δ = 16 − 20 = − 4 < 0 nierówność ta jest rzeczywiście zawsze prawdziwa.

Wersja PDF