/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 9180074

Dana jest nierówność kwadratowa z parametrem m :

2 x + 8x− 7+ m < 0.
  • Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których przedział (3,4) zawiera się w zbiorze rozwiązań tej nierówności.
  • Uzasadnij, że jeżeli dla pewnej wartości parametru m nierówność ta ma rozwiązanie w przedziale (3,4) , to ma ona w tym przedziale nieskończenie wiele rozwiązań.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Zacznijmy od zauważenia, że wierzchołek paraboli f(x) = x 2 + 8x − 7 + m ma pierwszą współrzędna równą x = −8-= − 4 w 2 . Zatem wykres lewej strony nierówności jest parabolą o ramionach skierowanych w górę i osi symetrii x = − 4 . W szczególności parabola ta jest funkcją rosnącą na przedziale (3 ,4 ) . Zatem jej ujemność na tym przedziale sprowadza się do warunku f(4 ) ≤ 0 (tu jest ważne, że przedział jest otwarty). Daje to nam nierówność
    1 6+ 32− 7+ m ≤ 0 m ≤ − 41 .

     
    Odpowiedź: m ∈ (− ∞ − 41⟩

  • Jak już zauważyliśmy w poprzednim podpunkcie, lewa strona nierówności rośnie na przedziale (3 ,4 ) . To oznacza, że jeżeli f(x0) < 0 dla pewnego x0 ∈ (3,4) to f (x) < 0 dla x ∈ (3,x0) , co oznacza, że nierówność ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Wersja PDF