/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 9338342

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b takiej, że b ⁄= a , prawdziwa jest nierówność

a 2 + 3b 2 + 4 > 2a+ 6b.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 a + 3b + 4 > 2a + 6b a2 − 2a+ 1+ 3b2 − 6b+ 3 > 0 (a− 1)2 + 3(b− 1)2 > 0.

Gdyby każdy z nawiasów z lewej strony był zerem, to a = b = 1 , co jest sprzeczne z założeniem a ⁄= b . W takim razie otrzymana nierówność jest prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

a2 − 2a+ (3b2 − 6b+ 4) > 0

jak nierówność kwadratową zmiennej a z parametrem b . Współczynnik przy a 2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego b ) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

2 2 Δ = (− 2) − 4(3b − 6b + 4 ) = = − 12b 2 + 2 4b− 12 = − 12(b2 − 2b + 1) = −1 2(b− 1)2.

Widzimy teraz, że jeżeli b ⁄= 1 , to Δ < 0 i parabola jest położona w całości powyżej osi Ox . Jeżeli natomiast b = 1 , to mamy nierówność

0 < a2 − 2a+ 1 = (a − 1)2,

która też jest zawsze spełniona, bo z założenia a ⁄= b = 1 .

Wersja PDF