/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Kwadratowe

Zadanie nr 9566149

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 3x2 − 6xy + 5y 2 ≥ 0 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 3x − 6xy + 5y ≥ 0 3x 2 − 6xy + 3y2 + 2y2 ≥ 0 2 2 2 3 (x − 2xy + y ) + 2y ≥ 0 3 (x− y)2 + 2y2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Potraktujmy nierówność

2 2 3x − 6y ⋅x + 5y ≥ 0

jak nierówność kwadratową zmiennej x z parametrem y . Współczynnik przy x2 jest dodatni, więc wykresem lewej strony nierówności (dla ustalonego y –ka) jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Ponadto

Δ = (6y)2 − 60y2 = −2 4y2 < 0,

więc parabola ta znajduje się w całości powyżej osi Ox . To oznacza, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich możliwych wartości x i y .

Sposób III

Jeżeli y = 0 to mamy nierówność

2 3x ≥ 0,

która jest oczywiście spełniona. Załóżmy zatem, że y ⁄= 0 . Możemy wtedy daną nierówność podzielić przez y2 .

2 2 2 3x − 6xy + 5y ≥ 0 / : y ( ) 2 3 x- − 6 ⋅ x-+ 5 ≥ 0. y y

Jeżeli podstawimy teraz t = xy , to musimy udowodnić, że

3t2 − 6t + 5 ≥ 0 .

Ponieważ Δ = 36 − 60 = − 24 < 0 nierówność ta jest rzeczywiście zawsze prawdziwa.

Wersja PDF