Zadanie nr 9996229
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej
prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Jeżeli zapiszemy daną nierówność w postaci
![2 2 8x − 4(m + 3)x+ (2m − 6m + 18) ≥ 0,](https://img.zadania.info/zad/9996229/HzadR0x.gif)
to widać, że mamy do czynienia ze zwykłą nierównością kwadratową. Ramiona paraboli będącej wykresem lewej strony są skierowane w górę, więc wystarczy pokazać, że . Liczymy
![Δ = 16(m + 3)2 − 4⋅8 ⋅(2m 2 − 6m + 18) = 2 2 = 16(m + 6m + 9 )− 16 (4m − 12m + 36) = = 16(− 3m 2 + 18m − 27) = − 16 ⋅3(m 2 − 6m + 9) = = − 16⋅ 3⋅(m − 3)2.](https://img.zadania.info/zad/9996229/HzadR2x.gif)
Widać teraz, że rzeczywiście .