/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 1110314

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramionach długości a . Pole podstawy jest równe sumie pól dwóch przystających ścian bocznych graniastosłupa. Jakie powinny być długości pozostałych krawędzi graniastosłupa, aby jego objętość była największa?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez H długość wysokości graniastosłupa, a przez α kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego w podstawie.

PIC

Pole podstawy jest równe

Pp = 1-a2sin α. 2

Z drugiej strony wiemy, że jest ono równe sumie pól dwóch ścian bocznych, czyli

1-a2sin α = 2aH ⇒ H = 1a sin α. 2 4

Zatem objętość graniastosłupa jest równa

1 1 1 V = Pp ⋅H = -a2sin α⋅ -a sin α = -a3 sin2 α. 2 4 8

Objętość będzie największa, gdy sinα = 1 , czyli dla ∘ α = 90 . Wtedy podstawa trójkąta ABC ma długość (twierdzenie Pitagorasa): √ -- a 2 , a wysokość: 14a .  
Odpowiedź: Trójkąt w podstawie: a,a,a√ 2- , wysokość: a 4 .

Wersja PDF