/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Zadania na ekstrema

Zadanie nr 1757278

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe 2π . Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

Rozwiązanie

Niech r i H oznaczają odpowiednio promień podstawy i wysokość walca.

PIC

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 2π = 2 ⋅πr + 2πrH / : 2π 1 = r2 + rH ⇒ rH = 1 − r2.

Liczymy objętość walca.

2 2 V = πr H = πr ⋅rH = πr (1 − r ).

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość walca liczymy pochodną funkcji

f(r) = r(1− r2) = −r 3 + r

określonej dla r ∈ (0,1) . Liczymy

( ) ( √ -) ( √ -) ′ 2 2 1- --3- ---3 f (r) = − 3r + 1 = − 3 r − 3 = − 3 r− 3 r + 3 .

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale ( √ 3) 0,-3- i ujemna w przedziale (√-3 ) 3 ,1 . To oznacza, że w punkcie √-3 r = 3 funkcja f osiąga największą wartość. Objętość walca jest wtedy równa

√ -- √ -- 3 2 2 3 V = πr (1 − r2) = π ⋅ ---⋅ --= ----π . 3 3 9

 
Odpowiedź: Promień podstawy: √ 3 -3- , objętość: √ - 2--3π 9 .

Wersja PDF